“刚才我谈论的东西主要是围绕着对数学的理解,但数学同样是理解的工具。”塔洛根据刚才发生的事情,想了想接下来要讲的方向。
特纳的表现正是没有理解坐标系的意义,才会说出那些贬低的话来。
而数学正是人类所创造的最伟大的帮助理解的工具之一。
“现存的大智者坎特曾经说,数字只能通过直觉去感应,它们是先于经验而表达的,就像我这几个手指。”塔洛伸出两手,分别竖起三根手指。
“三加三之所以得六,也是因为我们可以直觉感知到。”塔洛将两边的手指交叠,做出事例。
“诚然,这是一种理解加法的方式,而且很直观,它不证自明。”塔洛把两手松开,随后又合拢在一起。
“但我又想到了另一种方式,一种可以脱离客观事物,直接从逻辑中呈现的证明方式,证明三加三为什么可以等于六。”
老教授们听到这里都浮现了浓重的神情,有两位甚至变出了白纸和羽毛笔来。
而特纳则是撇嘴一笑,面带讽刺,这种事情还需要证明?!
“为此,我先设置五条公理为基础。”
“一、‘一’属于自然数。”
“二、所有自然数都有相邻,称之为这个自然数的后继数,它同样为自然数。”
“三、任何自然数的后继数都不为‘一’。”
“四、任意挑两个自然数,就称呼一个为n,另一个为m。如果n的后继数和m的后继数为同一个数,那么n和m不是两个不同的自然数,而是同一个。”
“五、假设自然数‘一’有一个特点。如果任意自然数n有这个特点,那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出,所有自然数都有这个特点。”
塔洛所说的正是十九世纪数学家皮亚诺所制定的皮亚诺公理,关于自然数的加减乘除四则运算里,皮亚诺所建构的这个系统算是最为出名。
前世塔洛在看一位数学家利用此公理建立在其上的实分析时,就对此颇感震撼。
“教授们如果理解了的话,那在此基础上,三后面的第三个数字为六,所以三加三可以等于六。”
皮亚诺公理其实还有第二个版本,那就是将零作为了起始数,但塔洛还不打算直接将其推进到这个阶段,当前所说的也足够了。
“不同的视角会给我们带来不同的东西,坐标系如此,这个公理也是如此。”
“我们走向海边,可以看到大海的辽阔,可以嗅闻到海水的气味,可以伸手拂过浪花,感知浪潮的起落。”
“但是数学,可以让我们深入大海,带给我们从内部观察整个结构的视角,使我们在迷雾中拥有眼睛。”
听着塔洛的陈词,老教授们难掩住当下的激动,怀特教授双眼更是淌出老泪,粗糙的老手轻轻抚过刚刚用羽毛笔记下的几条公理。